¿Cuántas escalas musicales existen?

Antes de nada, hemos de saber qué entendemos como número total de escalas musicales. Por ejemplo: la escala de dos notas Do-Re, y la escala de dos notas Re-Mi, se consideran transposiciones de la misma escala, no dos escalas distintas, pues su interválica es idéntica (se trata de la misma escala en dos alturas diferentes).

Para conocer cuántas escalas distintas de 1 a 12 sonidos se forman en el límite de una octava (por ejemplo, de Do4 a Do5) echamos mano de la combinatoria. Teniendo en cuenta que el orden de las notas es indiferente (Do-Re es lo mismo que Re-Do), y no queremos combinaciones de notas que sean transposiciones de otras, utilizamos la siguiente fórmula de combinaciones sin repetición:


Donde n es el número total de elementos (en este caso, notas musicales) y r es el número de notas de la escala (de 1 a 12 sonidos).

Dando por hecho que todas principian por la misma nota, ordenamos 11 elementos para cada una de las escalas de r-1 elementos. Una vez realizadas las operaciones sobre cada una de las escalas de 1 a 12 sonidos, obtenemos estos resultados:

Escalas de 1 sonido = 1*C(11,0) = 1
Escalas de 2 sonidos = 1*C(11,1) = 11
Escalas de 3 sonidos = 1*C(11,2) = 55
Escalas de 4 sonidos = 1*C(11,3) = 165
Escalas de 5 sonidos = 1*C(11,4) = 330
Escalas de 6 sonidos = 1*C(11,5) = 462
Escalas de 7 sonidos = 1*C(11,6) = 462
Escalas de 8 sonidos = 1*C(11,7) = 330
Escalas de 9 sonidos = 1*C(11,8) = 165
Escalas de 10 sonidos = 1*C(11,9) = 55
Escalas de 11 sonidos = 1*C(11,10) = 11
Escalas de 12 sonidos = 1*C(11,11) = 1

Lo que nos da un total de 2.048 escalas musicales.

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