Escala teórica griega del género diatónico

A la larga, escogieron los teóricos griegos para sus sistematizaciones la lista de escalas basadas en el género diatónico. El enarmónico fue perdiendo importancia en los análisis abstractos a causa del retroceso de su uso en la práctica musical real. En el progresivo acercamiento de los musicólogos antiguos hacia el diatónico influyó el hecho de que, en este género, no hay el vacío de dos tonos enteros que se encuentra en el enarmónico. Si el principal objetivo -más o menos consciente- de todo este proceso era facilitar los cambios de un modelo de octava a otro sin moverse de un registro tonal determinado y sin tener que alterar demasiadas notas en los instrumentos, parece lógico que se prefiriese un esquema teórico de clasificación y ordenación en que no hubiese intervalos disjuntos en la secuencia de notas.

La extensión del conjunto abstracto de modelos de escala era de casi dos octavas (Si3 – La5). Se añadió una nota adicional al grave que completaba las dos octavas y que dejaba en el centro una nota equidistante con los extremos. Hablando en términos de tetracordos, la secuencia contenía un tono inicial + dos tetracordos conjuntos + un tono disjuntivo + dos tetracordos conjuntos:

Escalas griegas de género cromático

Parece que, en general, los musicólogos griegos no utilizaron la lista de modelos de octavas basadas en el género cromático. Éste, como su nombre indica, era considerado más una “coloración” musical que no una organización del tetracordo con una utilidad estructural importante. Pero, tal como nos lo demuestran los testimonios literarios y las piezas con notación de años posteriores, el género cromático no había desaparecido de la práctica en la época en que se inició el proceso que estamos analizando. Los siete modelos de octava tendrían la forma siguiente:

Robert Schumann. Consejos dedicados a la juventud – 3

14. No debéis pensar quién os escucha cuando tocáis.

15. Tocad siempre como si estivieseis en la presencia de un maestro.

16. Cuando os presenten alguna composición para hacérosla tocar a primera vista, no dejéis de recorrerla con los ojos en toda su extensión antes de empezarla.

17. Cuando hayáis terminado vuestros ejercicios diarios, no continuéis los estudios si os sentís fatigados. Es preferible descansar a trabajar sin gusto y con la cabeza turbada.

18. Cuando lleguéis a una edad avanzada, no os preocupen las novedades. El tiempo es precioso, y sólo para conocer todo lo bueno necesitaríamos vivir cien vidas lo menos.

19. Criando a los niños con dulces jamás obtendremos hombres sanos. La alimentación espiritual debe ser tan sencilla y sustancial como la del cuerpo. Los profesores tienen el deber de proporcionarnos abundantemente la primera: no debemos apetecer otra.

Distribución armónica de intervalos

Escalas griegas de género diatónico

He aquí transcritos los modelos de octava del género diatónico:

Escalas griegas de género enarmónico

A continuación transcribo los modelos de octava del género enarmónico:

Hay que remarcar la coincidencia que alguna de estas escalas muestra, en su estructura, con las harmoníai. Asimismo, es significativo que las octavas que llevan el prefijo hipo- (“por debajo de, sometido a”) se encuentren una cuarta por encima de las homónimas. Con independencia del valor concreto de este prefijo, es claro que quienes dieron nombre a estas estructuras eran conscientes de que la modulación entre escalas que se encuentran separadas por una quinta o una cuarta es relativamente cómoda. De hecho, en la armonía occidental moderna, la modulación más sencilla es aquella que se da entre tonos separados por una cuarta o una quinta. Es muy posible, por otra parte, que el sentido de hipo- sea propiamente, en este caso, “por debajo”, ya que, si bien en la secuencia abstracta las octavas que llevan este prefijo están por encima de sus homónimas, en cambio, en el gran esquema de tonalidades que se creó paralelamente, y del cual trataremos en su momento, las escalas en cuestión quedan, precisamente, por debajo.

Las escalas griegas

La evolución de la música y de los instrumentos durante los siglos V y IV a. C. permitió componer obras utilizando cambios de escala. Para ello fueron ideando un sistema tanto práctico como teórico para facilitar la modulación de una a otra. Comenzaron por gestar la noción de una estructura melódica general que sintetizase las diferentes escalas particulares. El elemento constitutivo común a las escalas antiguas, el tetracordo, sirvió de eslabón en el nuevo sistema. Se tomó como base la secuencia de octava por tres razones. La primera fue que la mayor parte de las harmoníai reconocidas como antiguas por el tratadista romano Arístides Quintiliano abarcaban una octava o se aproximaban; además, la octava es una estructura melódica muy adecuada para una sistematización basada en tetracordos, ya que está formada por dos de estas unidades. La segunda fue que contenía los tres intervalos considerados consonantes por los antiguos, que son la cuarta justa, la quinta justa y la octava, representantes, según los filósofos, de la perfección armónica. La tercera fue que su extensión resulta cómoda para la voz humana.

El repertorio de escalas, es decir, el equivalente funcional de las antiguas harmoníai, pasó a estar formado por los diferentes modelos de organización de intervalos que se producen si se construyen octavas tomando como punto de partida cada una de las siete notas distintas que hay en una secuencia básica de octava. En el género enarmónico (el más antiguo), dicha secuencia de intervalos, en abstracto, es siempre la misma (… diesi – diesi – dítono – tono – diesi – diesi – dítono – diesi – diesi – dítono …), sólo cambia el segmento que ocupa cada octava.

Nota cambiada – 4

Nota cambiada es un diseño melódico formado por cuatro o más notas. Comenzaré presentando sus cuatro modelos escolásticos. He aquí el cuarto:

Cambiada de tercera ascendente

René Descartes. “Compendium Musicae”: Consideraciones previas

1.ª Todos los sentidos son capaces de algún placer.

2.ª Para este placer se necesita una cierta proporción del objeto con el mismo sentido. De ahí que, por ejemplo, el estrépito de los mosquetes y de los truenos no parezca apropiado para la Música: porque, evidentemente, dañaría los oídos, igual que el excesivo resplandor del sol los ojos al contemplarlo de frente.

3.ª El objeto debe ser tal que el sentido no lo perciba ni con excesiva dificultad ni confusamente. De donde resulta que, por ejemplo, una figura muy complicada, aunque sea regular como es la madre en el astrolabio, no agrada a la vista tanto como otra que esté formada por líneas más iguales, como suele ser la araña en el mismo instrumento. La razón es que el sentido se satisface más plenamente en esta última que en la primera, donde se encuentran muchos elementos que no se distinguen con suficiente claridad.

4.ª El sentido percibe más fácilmente el objeto en el que la diferencia de las partes es menor.

5.ª Decimos que las partes de un objeto completo entre las que existe una mayor proporción son menos diferentes entre sí.

6.ª Esta proporción debe ser aritmética y no geométrica. La razón de esto es que en ella no hay que advertir tan gran cantidad de cosas, puesto que allí las diferencias son iguales y por eso el sentido no se fatiga tanto al percibir separadamente todos los elementos que contiene. Ejemplo: la proporción de estas líneas

se distingue con los ojos más fácilmente que la de estas otras,

porque en la primera basta con advertir la unidad, como diferencia de cada línea; en cambio, en la segunda, las partes ab y bc son inconmensurables y, por eso, pienso que, de ningún modo, pueden ser perfectamente conocidas al mismo tiempo por el sentido, sino sólo en orden a la proporción aritmética: así, es claro que se adviertan en ab, por ejemplo, dos partes, de las que existen tres en bc. De donde es evidente que el sentido se engaña continuamente.

7.ª Entre los objetos del sentido no es más agradable al espíritu ni aquel que se percibe muy fácilmente ni tampoco el que se percibe con más dificultad; sino el que no es tan fácil como para satisfacer completamente el deseo natural, por el que los sentidos son atraídos hacia los objetos, ni tan difícil como para fatigar el sentido.

8.ª Finalmente hay que señalar que en todas las cosas la variedad es muy agradable.

Progresión geométrica

Progresión geométrica es una serie de números en que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por un número constante.

La razón constante de la siguiente serie de números es de 3:

1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, …

ya que:

3 = 1 · 3

9 = 3 · 3

27 = 9 · 3

81 = 27 · 3

243 = 81 · 3

729 = 243 · 3

Podemos continuar la progresión multiplicando a cada nuevo número la razón.

Si multiplicamos los dos números extremos de la serie, 1 · 729 = 729, de igual manera que si vamos multiplicando los dos números equidistantes de los extremos, 3 · 243 = 729 y 9 · 81 = 729.

Proporción geométrica que oculta dicha progresión:

27 : 1 = 27

729 : 27 = 27

Es decir, el término medio excede al primero en una fracción de éste igual a la fracción en que aquel es sobrepasado por el último.

Los autores clásicos decían que la proporción geométrica estaba compuesta de diferencias desiguales y razones iguales.

Las progresiones matemáticas las utiliza el compositor sinfónico para estructurar sus obras.